Il presente paper nasce da alcune riflessioni tecniche sviluppatesi parallelamente alle lezioni di “micro-composizione”. Il contributo si sviluppa come occasione di riflessione teorica e di chiarificazione concettuale, orientata a mettere in relazione pratiche e strumenti affrontati nell’esperienza didattica. Proprio queste occasioni di dialogo hanno reso evidente come tecniche di sintesi spesso presentate separatamente possano invece essere rilette attraverso un principio comune.

Nel confronto con gli studenti, la fase emerge spesso come uno dei parametri della sintesi sonora meno immediatamente riconoscibili rispetto ad altri elementi più evidenti sul piano percettivo, come la frequenza o l’ampiezza. Eppure, proprio la fase costituisce uno dei luoghi più fertili in cui si definisce il comportamento microscopico di un suono: il punto in cui il tempo viene organizzato nel dettaglio e trasformato in gesto acustico.-

L’obiettivo è osservare come la fase attraversi, come un filo rosso, diverse tecniche di sintesi sonora non troppo lontane tra loro. Distorsione di fase, modulazione di fase, modulazione di frequenza, pulsar synthesis e waveshaping possono infatti essere letti come differenti declinazioni di uno stesso principio generativo. Ciò che cambia di volta in volta è il modo in cui la traiettoria della fase viene modellata, perturbata o reinterpretata. 

Prima di addentrarci in configurazioni più articolate, può essere utile richiamare casi fondamentali da “ripasso matematico”: situazioni ben note sul piano della funzione esponenziale, ma che, applicate alla traiettoria della fase, acquistano una precisa rilevanza sonora.

Distortione di fase

Un primo esempio particolarmente chiaro è offerto dalla distorsione di fase. Qui si può immaginare la fase come una rampa lineare che cresce uniformemente da 0 a 1, prima ancora di essere convertita nell’escursione completa da 0 a $2π$. La rampa rappresenta quindi un tempo normalizzato, distribuito in modo uniforme lungo un ciclo. 

La forma più semplice di fase può ovviamente essere descritta come:

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$y(\phi)=\phi \qquad\qquad\qquad\qquad$

Fase normalizzata

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Su questa traiettoria lineare si può intervenire alterandone l’andamento, cioè distorcendo la fase, progettando il modo in cui il suono attraverserà il proprio ciclo: decidere dove accelerare, dove rallentare, dove concentrare o distribuire l’energia.

Osservando la trasformazione della fase, emerge come il parametro $n$ di $\phi^{n}$ possa essere considerato entro le tre seguenti aree operative, ciascuna capace di produrre una diversa organizzazione temporale del ciclo: maggiore di 1, tra 0 e 1 e negativo.

$n$ maggiore di 1

Si tratta di una delle trasformazioni più immediate. 

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$y(\phi)=\phi^{2.5} \qquad\qquad\qquad\qquad$	Fase normalizzata, in rosso
$y(\phi)=\sin\!\left(2\pi\phi^{2.5}\right)$	Output, in nero

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Il tempo interno al ciclo viene redistribuito. Quando questa traiettoria viene poi utilizzata per leggere una sinusoide, il risultato non è soltanto una variazione grafica della curva, ma una diversa articolazione del moto oscillatorio: la sinusoide viene “percorsa” con velocità variabile all’interno del ciclo, generando un differente profilo timbrico.

$n$ tra 0 e 1

I numeri elevati a un esponente tra zero e uno si calcolano estraendo una radice. Esempio:

$0.5^{0.1} = \sqrt[10]{0.5} = 0.933$

Con fase normalizzata tra 0 e 1 – ed $n$ anch’esso tra 0 e 1 – la rampa inverte la curvatura:

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$y(\phi)=\phi^{0.3} \qquad\qquad\qquad\qquad$	Fase normalizzata, in rosso
$y(\phi)=\sin\!\left(2\pi\phi^{0.3}\right)$	Output, in nero

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$n$ negativo

Una terza area riguarda i valori negativi. In questo caso il comportamento della funzione cambia in modo più radicale. Elevare una quantità compresa tra 0 e 1 a un esponente negativo equivale infatti a calcolarne il reciproco:

Ne derivano andamenti che crescono rapidamente già nelle vicinanze dello zero. Alcuni esempi rendono il fenomeno immediatamente visibile:

Più $\phi$ si avvicina a zero, più il valore risultante di $\phi^{-n}$ cresce rapidamente:

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$\phi^{-0.8}=\frac{1}{\phi^{0.8}}$

Versione non wrapped della funzione

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Dal punto di vista sonoro, tali configurazioni possono produrre sfumature glitch con aliasing. Quest’ultimo, pur essendo un effetto da limitare in innumerevoli casi, può essere impiegato creativamente.

Per rendere più leggibile il comportamento della fase in questa terza area, e al tempo stesso ridurre al minimo le problematiche legate all’indeterminatezza che si verifica quando lo zero viene elevato a un esponente negativo, può essere introdotto un piccolo offset numerico (0.001 nella funzione sottostante). Inoltre, applicando una funzione di wrap mediante l’operazione ‘modulo’, è possibile osservare con maggiore chiarezza il riavvolgimento ciclico della fase all’interno del grafico.

La funzione può quindi essere espressa come:

In questa forma la traiettoria resta confinata entro il dominio normalizzato tra 0 e 1, rendendo immediatamente visibile sia la deformazione della rampa sia il punto in cui essa si riavvolge. L’osservazione grafica di questa curva, accostata alla sinusoide risultante, permette di mettere in relazione diretta il profilo della fase e la trasformazione dell’onda che ne deriva.

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$\phi^{-0.8}=\frac{1}{\phi^{0.8}}$

Versione wrapped della funzione

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$\phi^{-0.8}=\frac{1}{\phi^{0.8}}$	Fase con wrap, in rosso
$y(\phi)=\sin\left(2\pi\,\operatorname{mod}\left(0.001+\phi^{-0.8},1\right)\right)$	Output, in nero

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$y(\phi)=\sin\left(2\pi\,\operatorname{mod}\left(0.001+\phi^{-0.8},1\right)\right)$

Output

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Fase: da distorsione a modulazione

Che differenza c’è tra distorcere e modulare? In generale, distorcere significa alterare direttamente la forma di un segnale o di una sua rappresentazione, modificandone la struttura senza che sia necessariamente presente un controllo esterno variabile nel tempo. Modulare, invece, significa utilizzare un segnale per controllare nel tempo il comportamento di un altro segnale, introducendo una variazione dinamica che può essere lenta o rapida. Nel caso della fase, la distorsione consiste nel deformarne direttamente l’andamento all’interno del ciclo, mentre la modulazione consiste nel farla variare attraverso l’azione di una modulante. Nonostante questa distinzione concettuale, entrambe le tecniche appartengono alla più ampia famiglia delle manipolazioni della fase e possono produrre risultati spettrali sorprendentemente simili, pur partendo da principi operativi differenti.

Nella distorsione di fase la rampa viene dunque piegata o riavvolta modificandone l’andamento complessivo. Nella modulazione di fase (da qui in poi PM), invece, la progressione lineare resta percepibile ma è attraversata da una perturbazione oscillatoria: la fase viene ondulata periodicamente, generando accelerazioni e rallentamenti distribuiti lungo il ciclo.

La sola traiettoria di fase può essere descritta come:

La componente lineare $t$ mantiene la progressione regolare della fase, mentre il termine sinusoidale introduce una deviazione ciclica. Il parametro $I$ controlla l’ampiezza di questa deviazione; $f_m$ ne determina invece la periodicità all’interno dell’intervallo osservato.

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$y(\phi)=\phi+I\sin\left(2\pi f_{m}\phi\right)$	Solo fase modulata
$I = 0.7;\ f_m=2$	Indice e frequenza modulante

Nelle rappresentazioni del presente articolo, $\phi$ non indica il tempo fisico ma una fase normalizzata compresa tra 0 e 1, utilizzata per evidenziare il ruolo della fase come materiale comune alle diverse tecniche di sintesi.

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Dal punto di vista grafico, la traiettoria non appare più come una semplice rampa, ma come una linea che conserva il proprio andamento ascendente mentre viene deformata da ondulazioni regolari. È proprio questa oscillazione locale della fase a determinare la trasformazione sonora successiva.

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Phase Modulation

$y(\phi)=\phi+I\sin\left(2\pi f_{m}\phi\right)$	Solo fase modulata, in rosso
$y(\phi)=\sin\left(2\pi f_{c}\phi+I\sin\left(2\pi f_{m}\phi\right)\right)$	Output, in nero
$I = 0.7; \ f_c = 2; \ f_m=2$	Indice, portante e modulante

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Qui $f_{c}$ rappresenta la frequenza portante, mentre il termine modulante $f_{m}$ altera continuamente la velocità istantanea con cui la sinusoide viene attraversata.

Nella manualistica della musica elettronica questo stesso principio viene spesso descritto anche attraverso la modulazione di frequenza. Le due formulazioni (modulazione di frequenza e di fase) conducono infatti al medesimo risultato sonoro e generano lo stesso contenuto spettrale se la modulante è sinusoidale. La differenza riguarda soprattutto il modo in cui il processo viene concettualizzato e implementato.

La lettura attraverso la fase evidenzia la deformazione diretta della traiettoria interna al ciclo; quella attraverso la frequenza descrive invece la variazione istantanea della velocità con cui la fase viene percorsa. In molti strumenti basati su wavetable synthesis la prima prospettiva risulta particolarmente immediata: il materiale sonoro viene letto all’interno di una tabella mentre il puntatore di fase, anziché procedere linearmente, viene deformato o ondulato secondo funzioni di controllo.

Ciò che accomuna entrambe le tecniche è il ruolo centrale della fase come spazio di micro-composizione: il timbro nasce dal modo in cui viene progettato e perturbato il percorso interno al ciclo, prima ancora che questo diventi suono udibile.

Per rendere più evidente questa relazione, nelle seguente figura sono messe a confronto PM e FM realizzate in Max:

Nella PM, il segnale modulante agisce direttamente sulla fase dell’oscillatore portante, aggiungendo e sottraendo radianti al suo percorso interno. Nella FM, invece, il segnale modulante viene convertito in una deviazione della frequenza istantanea.

Affinché una patch di FM risulti perfettamente equivalente alla formulazione matematica osservata qualche paragrafo sopra — che coincide con la classica espressione della PM — è necessario che l’indice di modulazione venga moltiplicato per la frequenza modulante $f_m$. Questo prodotto viene poi moltiplicato per l’uscita dell’oscillatore modulante, ottenendo così la deviazione di frequenza da sommare alla portante:

Nel confronto mostrato in figura, la frequenza modulante è fissata a 250 Hz, la portante a 2000 Hz e l’indice a 2.

Nella PM l’indice agisce come deviazione di fase espressa in radianti: il modulatore anticipa e ritarda continuamente il percorso della portante di ±2 radianti alla frequenza di 250 Hz.

Nella FM, lo stesso valore numerico determina invece la deviazione istantanea di frequenza secondo la relazione:

Perciò, con:

$I=2 \qquad f_m=250$

si ottiene:

La frequenza istantanea oscilla quindi tra 2000 + 500 e 2000 – 500 Hz.

Nella modulazione di fase i parametri $I$ e $f_m$​, pur intervenendo sulla fase, ne modificano continuamente la velocità di avanzamento: la deviazione resta dunque una deviazione di fase, ma produce allo stesso tempo una variazione della velocità istantanea del phasor, quindi una deviazione di frequenza misurabile anch’essa in Hertz.

La FM può essere letta, in questa prospettiva, come una variante didatticamente efficace della PM: rende immediatamente percepibile la relazione tra indice, frequenza modulante e deviazione espressa in Hertz, offrendo una formulazione semplice e intuitiva del fenomeno. John Chowning sviluppò e formalizzò storicamente questo principio come frequency modulation, mettendo in evidenza il controllo delle deviazioni di frequenza e le loro conseguenze spettrali. Nella pratica dei sintetizzatori digitali successivi, tuttavia, l’implementazione avviene spesso attraverso la PM: è il caso, ad esempio, dello Yamaha DX7, storicamente associato alla FM ma basato internamente sulla modulazione della fase. La distinzione resta quindi utile sul piano teorico e descrittivo, mentre sul piano sonoro e operativo i due modelli tendono spesso a convergere quando, come già detto, la modulante è sinusoidale. Con modulanti di diversa natura, FM e PM possono invece dar luogo a comportamenti differenti, come si noterà nel prossimo contributo.

Emanuele Casale