Nel precedente articolo abbiamo notato come fase e frequenza siano strettamente legate tra loro. La fase, infatti, è proporzionale all’integrale della frequenza.

Prendiamo come esempio una frequenza di 3 Hz osservata però come un segnale costante:

Fig. 1 Frequenza costante di 3 Hz

Ricostruiamone la fase calcolandone l’integrale: 

$\phi(t)=\int_{0}^{t}fdx\left\{0\le t<1\right\}\$

Verrà fuori una retta inclinata da 0 a 3 in 1 secondo. Di norma sarebbe da 0 a $2π·3$, ma qui adottiamo una normalizzazione in cicli per praticità:

Fig. 2 Frequenza costante, in viola; fase risultante, in rosso

Ripercorriamo adesso lo stesso itinerario a ritroso: poiché la frequenza è la derivata della fase, applicando il calcolo della derivata $f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\phi(t)$ alla retta inclinata di cui sopra, otterremo appunto la linea mostrata nella figura 1.

Queste premesse ci saranno utili per analizzare la patch qui di seguito riportata che mette a confronto Modulazione di Fase (PM) e Modulazione di Frequenza (FM):

Fig. 3 PM e FM hanno per modulante un segnale puro: gli spettri sono equivalenti

Fin quando nella modulante avremo segnali puri, sinusoidali (o cosinusoidali), le due modalità di sintesi rimarranno pressoché equivalenti. Nel caso in cui alla modulante daremo segnali non puri, i due spettri smetteranno di coincidere, come mostra la seguente figura 4, in cui alla modulante di PM ed FM è data un’onda triangolare:

Fig. 4 PM e FM hanno per modulante un segnale non sinusoidale: gli spettri non sono equivalenti

Nella PM mostrata nella figura 3, la modulazione è espressa in radianti. Se volessimo tradurla in termini di frequenza istantanea, dovremmo calcolarne la derivata, poiché la frequenza è proporzionale alla variazione della fase nel tempo:

Fig. 5 Segnali modulanti di PM e FM. Nella modulante della PM, l’output espresso in radianti è stato tradotto in frequenza istantanea tramite il calcolo della derivata

In ambito discreto, la derivata può essere ottenuta calcolando la differenza tra due campioni consecutivi della fase, moltiplicando il risultato per la frequenza di campionamento e dividendo infine per $2\pi$, così da convertire il valore in Hertz:

Fig. 6 Subpatch della patch in figura 5: calcolo della derivata

Applicando questo procedimento alla PM, si osserva che il risultato è pressoché equivalente all’onda mostrata nella sezione FM della figura 3. In altre parole, quando il segnale modulante è una sinusoide (o cosinusoide), la deviazione di frequenza ottenuta dalla derivata della PM coincide sostanzialmente con quella prodotta direttamente in una FM.

Come già detto, la situazione cambia se si utilizza una forma d’onda differente. Nella seguente figura 7 sono mostrate le sole modulanti triangolari di PM e FM. Calcolando la derivata della deviazione di fase, compare infatti un’onda quadra anziché una triangolare:

Fig. 7 Modulanti triangolari di PM e FM. Nella modulante della PM, l’output espresso in radianti è stato tradotto in frequenza istantanea tramite il calcolo della derivata, questa volta i segnali non sono affini, come avveniva invece nella figura 5.

Ciò avviene perché la derivata misura l’inclinazione della fase: nelle rampe ascendenti e discendenti della triangolare, l’inclinazione rimane costante, per cui il risultato non è una variazione graduale della frequenza, ma due livelli di frequenza costanti che si alternano bruscamente. La derivata della triangolare è quindi una forma d’onda quadra.

Nella sezione FM della patch 2, invece, la deviazione di frequenza mantiene la forma triangolare originale del segnale modulante. Questo esempio mostra chiaramente che l’equivalenza tra PM e FM rappresenta un caso particolare legato all’impiego di una modulante sinusoidale e non una proprietà valida per qualsiasi forma d’onda.

Un’ulteriore conseguenza di questa differenza emerge osservando gli spettri prodotti dalle due tecniche mostrati nella figura 4. Nel caso della patch con modulante triangolare, la PM infatti produce distribuzioni spettrali insolite, spesso caratterizzate dalla scomparsa di alcune componenti armoniche o dalla presenza di cancellazioni particolarmente marcate. Il risultato si discosta sensibilmente dalla classica PM sinusoidale descritta dalle funzioni di Bessel e può ricordare, in alcuni casi, una commutazione periodica tra due differenti deviazioni di frequenza. Tali comportamenti evidenziano ulteriormente come l’equivalenza tra PM e FM sia una proprietà specifica della modulazione sinusoidale e non possa essere estesa arbitrariamente ad altre forme d’onda.

A corollario di quanto espresso, possiamo aggiungere che non è raro che formule comunemente presentate come esempi di modulazione di frequenza siano in realtà modulazioni di fase. Una formula FM frequentemente riportata nei manuali è infatti:

$s(t)=cos(2πf_c​t+βsin(2πf_m​t))$

Tuttavia, osservando attentamente l’espressione, si nota come la modulante venga sommata direttamente alla fase della portante. Ciò che viene modulato in maniera esplicita è dunque la fase e non la frequenza.

Nell’espressione $sin(2πf_m​t)$, la quantità $2πf_m​t$ può essere infatti considerata come la traiettoria di fase dell’oscillatore. Per questo motivo, quando un termine di modulazione viene aggiunto all’interno dell’argomento della funzione sinusoidale, esso agisce di fatto sulla fase.

Una formula più esplicita di modulazione di frequenza potrebbe dunque essere:

$y(t)=sin(2π(f_ct+∫₀ᵗ sin(2πf_mx)dx))$

Giusto per chiarezza esplicativa, dividiamo in due parti quest’ultima formula, vale a dire sezione portante:

$sin(2πf_ct)$

e sezione modulante, cioè l’integrale della deviazione:

$∫₀ᵗ sin(2πf_mx)dx$

Dapprima si crea dunque una deviazione di frequenza che, per essere inserita in formula, viene convertita in fase calcolandone l’integrale.

Poiché $sin$ richiede una fase espressa in radianti, occorre moltiplicare per $f_m$​ affinché l’intera formula:

$y(t)=sin(2π(f_ct+f_m∫₀ᵗ sin(2πf_mx)dx))$

sia pressocché equivalente a:

$y(t)=sin(2πf_ct+sin(2πf_mt))$

Più che una distinzione rigida tra tecniche differenti, PM e FM mostrano dunque come la fase possa essere osservata da prospettive diverse: talvolta come quantità direttamente manipolata, talvolta come risultato dell’integrazione di una variazione di frequenza. Comprendere questa relazione significa acquisire uno strumento concettuale utile per osservare PM e FM non come tecniche indipendenti, ma come differenti punti di vista sul rapporto tra fase e frequenza.